Matematica

Anno accademico 2015/2016

Attività di supporto

Il ripasso delle nozioni fondamentali di algebra e trigonometria, ed esercizi relativi agli
argomenti del corso, verranno svolti nella lezione del mercoledì pomeriggio dalla
docente Chiara Pontremoli, nell'ambito del Progetto Idea.

CALENDARIO DI MASSIMA DEGLI ARGOMENTI TRATTATI nelle prime lezioni

Mer. 7 Ott.: Prodotti notevoli, equazioni e disequazioni di primo grado intere e fratte;
equazioni e di secondo grado, intere e fratte

Mer. 14 Ott.: Disequazioni di secondo grado, di grado superiore al secondo, equazioni con
valore assoluto.

Mer. 21 Ott.: Disequazioni con valore assoluto; equazioni e disequazioni irrazionali. Sistemi
di equazioni e disequazioni.

Mer. 28 Ott.: Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche

Mer. 4 Nov.: Misura degli angoli in radianti. Definizione, proprietà e grafici delle funzioni
circolari elementari. Formule di addizione, duplicazione, bisezione. Inverse delle funzioni
circolari, loro grafici e proprietà. Equazioni e disequazioni goniometriche.

Mer. 11 novembre: Geometria del piano cartesiano. Distanza fra due punti del piano
cartesiano. Rappresentazione analitica di rette, di circonferenze e di coniche (in forma
canonica). Condizioni di parallelismo e di perpedicolarità di due rette. Distanza di un punto
da una retta.

Da mercoledì 18 novembre le ore del mercoledì pomeriggio svolte nell'ambito del
Progetto IDEA saranno dedicate a esercizi di potenziamento sugli argomenti
oggetto del corso (limiti, continuità, derivabilità, studi di funzione, successioni,
integrazione...) in preparazione delle prove scritte.

Note

APPELLI D'ESAME

Le date degli appelli di Matemat ica sono già state fissate fino ad aprile 2017;
verranno inserite sulla piattaforma ESSE3, dove occorrerà obbligatoriamente
iscriversi.

PROGETTO CORDA

Agli studenti che hanno superato nell'anno scolastico 2014/2015 la prova finale del progetto
CORDA (negli istituti che aderiscono a tale progetto) viene riconosciuto un bonus per la
votazione finale dell'esame di "Matematica". Precisamente:

votazione CORDA tra 30 e 40: un punto in più all'esame finale;

votazione CORDA tra 41 e 75: due punti in più all'esame finale.

MATERIALE DIDATTICO

Ulteriore materiale (prove scritte precedenti, esercizi proposti,...) è disponibile alla pagina web relativa all'edizione 2014/2015 del corso.

Programma

Nozioni Preliminari
Insiemi: relazione di appartenenza. Sottoinsiemi, insieme delle parti, insieme vuoto. Operazioni
con insiemi: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complementare. Insiemi dati
per elencazione, per proprietà caratteristica. Diagrammi di Eulero–Venn.
Proposizioni e valori di verità. Connettivi e quantificatori.
Prodotto cartesiano di due o piú insiemi. Insiemi numerici. Polinomi. Equazioni e disequazioni

Insiemi numerici (N, Z, Q, R, C) e loro proprietà principali.
Operazioni, chiusura rispetto alle operazioni. Proprietà delle operazioni: proprietà commutativa
ed associativa di addizione e moltiplicazione, proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto
all'addizione. Opposto e reciproco. Elementi neutri. Valore assoluto.
Ordinamento totale degli insiemi N, Z, Q, R. Compatibilità dell'ordine con le operazioni.
Proprietà dei numeri reali: la completezza. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e
minimo.
Polinomi. Operazionisui polinomi, potenze. Radici di polinomi di primo e secondo grado.
Equazioni e disequazioni polinomiali e col valore assoluto, razionali e irrazionali.
Sistemi di equazioni lineari: metodi elementari di risoluzione.
Geometria della retta e del piano.
Numeri reali e geometria della retta.
Geometria del piano cartesiano. Distanza fra due punti del piano cartesiano.
Rappresentazione analitica di rette, di circonferenze e di coniche (in forma canonica). Condizioni
di parallelismo e di perpedicolarità di due rette. Distanza di un punto da una retta.

Funzioni
Definizioni e proprietà. Dominio, codominio, immagine. Immagine inversa. Grafico di una
funzione.
Grafici delle funzioni elementari. Funzione identica, funzioni costanti, funzioni lineari e affini,
potenze con esponente fissato y = x^a, valore assoluto, segno, parte intera, parte frazionaria.
Funzioni polinomiali.
Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di funzioni. Funzione inversa.
Funzioni monotòne, strettamente monotòne. Funzioni pari, dispari. Inversa di una funzione
monotòna. Monotonia delle potenze.
Potenze a esponente razionale.
Funzioni esponenziale e logaritmo e loro grafici. Proprietà delle potenze. Funzione esponenziale: i
casi a > 1 ed a in (0,1). La funzione logaritmo come inversa dell'esponenziale. Cambiamenti di
base. Equazioni e disequazioni con le funzioni esponenziale e logaritmo.
Misura degli angoli in radianti. Definizione, proprietà e grafici delle funzioni circolari elementari.
Formule di addizione, duplicazione, bisezione. Inverse delle funzioni circolari, loro grafici e
proprietà. Equazioni e disequazioni goniometriche.

Limiti di funzioni e Funzioni Continue
Funzioni reali di variabile reale. Dominio e codominio. Limiti agli estremi del dominio.
Funzioni continue in un punto, in un insieme. Definizione di limite. Teoremi dell'unicità del limite e
della permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue. Esistenza del limite per funzioni
monotòne. Teorema di esistenza degli zeri e teorema di Bolzano–Weierstrass.

Successioni
Successioni definite per ricorrenza o con assegnato termine generale. Applicazioni in dinamica di
popolazione.
Definizione di limite per una successione. Studio di successioni monotòne. Operazioni con i limiti.
Limite di alcune particolari successioni.

Calcolo differenziale e Studi di Funzione
Rapporto incrementale, derivata in un punto. Interpretazione geometrica della derivata e retta
tangente. Relazione fra derivabilità e continuità. Funzione derivata. Derivata di somma, prodotto,
rapporto e composizione di due funzioni. Derivate delle funzioni elementari. Teoremi sulle
derivate (Rolle, Lagrange, Cauchy).
Segno della derivata e monotonia.
Studio di funzioni. Problemi di massimo e minimo. Concavità e convessità. Derivata seconda e
punti di flesso.
Teorema di de l'Hôpital. Applicazione al calcolo dei limiti.
Approssimazione locale di funzioni con polinomi. Teorema di Taylor e formula di Taylor con
resto.

Calcolo Integrale
Aree e misura. Il problema inverso della derivazione.
Integrale di Cauchy per funzioni di una variabile reale. Condizioni necessarie e sufficienti per
l'integrabilità.
Integrabilità delle funzioni monotòne e delle funzioni continue.
Funzione integrale. Proprietà: additività e monotonia. Media di una funzione continua. Teorema
della Media.
Insieme delle primitive di una funzione continua. Relazione fra primitive, funzione integrale e
aree. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Metodi di integrazione: sostituzione, parti.

Brevi cenni alle equazioni differenziali

Testi consigliati e bibliografia

Libro di testo consigliato per il corso

- Angelo Guerraggio, Matematica per le Scienze, Pearson (con possibilità di accesso a
piattaforma elettronica Mymathlab per esercitazioni)

Per il recupero delle nozioni di base indispensabili per affrontare un corso di matematica a
livello universitario si può utilizzare anche il testo:

- Roberto D'Ercole, Matematica per i precorsi, Pearson Education.

Altri libri di testo consultabili (in ordine crescente di difficoltà):

- P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Calcolo, Liguori.
- M. Abate, Matematica e Statistica (Le basi per le scienze della vita), McGraw-Hill (Questo
libro è senza dubbio molto completo, ma contiene anche molti argomenti e applicazioni che
non verranno trattati in questo corso)

Appelli

	Data	Ore	Esame
	31/03/2016	14:00 - 18:00	Scritto
	25/02/2016	14:00 - 18:00	Scritto
	08/02/2016	14:00 - 18:00	Scritto